sábado, 15 de octubre de 2011

Caida Libre


En física, se denomina caída libre al movimiento de un cuerpo bajo la acción exclusiva de un campo gravitatorio. Esta definición formal excluye a todas las caídas reales influenciadas en mayor o menor medida por la resistencia aerodinámica del aire, así como a cualquier otra que tenga lugar en el seno de un fluido; sin embargo es frecuente también referirse coloquialmente a éstas como caídas libres, aunque los efectos de la viscosidad del medio no sean por lo general despreciables.
El concepto es aplicable también a objetos en movimiento vertical ascendente sometidos a la acción desaceleradora de la gravedad, como un disparo vertical; o a satélites no propulsados en órbita alrededor de la Tierra, como la propia Luna. Otros sucesos referidos también como caída libre lo constituyen las trayectorias geodésicas en el espacio-tiempo descritas en la teoría de la relatividad general.
Ejemplos de caída libre deportiva los encontramos en actividades basadas en dejarse caer una persona a través de la atmósfera sinsustentación alar ni de paracaídas durante un cierto trayecto.1 2
Por la segunda ley de Newton, la fuerza \mathbf{F} que actúa sobre un cuerpo es igual al producto de su masa m\, por la aceleración que adquiere. En caída libre sólo intervienen el peso \mathbf{P} (vertical, hacia abajo) y el rozamiento aerodinámico \mathbf{f}(v) en la misma dirección, y sentido opuesto a la velocidad. Dentro de un campo gravitatorio aproximadamente constante, la ecuación del movimiento de caída libre es:
\mathbf{F} = \mathbf{P}+\mathbf{f} = -mg {\mathbf{j}} - f\frac{\mathbf{v}}{v} = m\frac{d\mathbf{v}}{dt}
La aceleración de la gravedad g\, lleva signo negativo porque se toma el eje vertical como positivo hacia arriba.

Trayectoria en caída libre

[editar]Caída libre totalmente vertical

El movimiento del cuerpo en caída libre es vertical con velocidad creciente (aproximadamente movimiento uniformemente acelerado con aceleración g) (aproximadamente porque la aceleración aumenta cuando el objeto disminuye en altura, en la mayoría de los casos la variación es despreciable). La ecuación de movimiento se puede escribir en términos la altura y:
(1) -mg + f = ma_y \,
donde:
a_y, v_y\;, son la aceleración y la velocidad verticales.
f\;, es la fuerza de rozamiento fluidodinámico (que aumenta con la velocidad).
  • Si, en primera aproximación, se desprecia la fuerza de rozamiento, cosa que puede hacerse para caídas desde pequeñas alturas de cuerpos relativamente compactos, en las que se alcanzan velocidades moderadas, la solución de la ecuación diferencial (1) para las velocidades y la altura vienen dada por:
\begin{matrix} v_y(t)= v_0 - gt \\ y(t) = h_0 + v_0t -\frac{1}{2}gt^2 \end{matrix}
donde v0 es la velocidad inicial, para una caída desde el reposo v0 = 0 y h0 es la altura inicial de caída.
  • Para grandes alturas u objetos de gran superficie (una pluma, un paracaídas) es necesario tener en cuenta la resistencia fluidodinámica que suele ser modelizada como una fuerza proporcional a la velocidad, siendo la constante de proporcionalidad el llamado rozamiento aerodinámico kw:
(2) -mg - k_wv_y = ma_y \,
En este caso la variación con el tiempo de la velocidad y el espacio recorrido vienen dados por la solución de la ecuación diferencial (2):
\begin{cases} v_y = v_0e^{-k_wt/m} + \cfrac{mg}{k_w}(e^{-k_wt/m}-1) \\ y = h_0 - \cfrac{mgt}{k_w}+m\left(\cfrac{mg+k_wv_0}{k_w^2}\right)(e^{-k_wt/m}-1) \end{cases}
Nótese que en este caso existe una velocidad límite dada por el rozamiento aerodinámico y la masa del cuerpo que cae:
v_\infty = \lim_{t\to \infty} v_y(t) = -\frac{mg}{k_w}
  • Un análisis más cuidadoso de la fricción de un fluido revelaría que a grandes velocidades el flujo alrededor de un objeto no puede considerarse laminar, sinoturbulento y se producen remolinos alrededor del objeto que cae de tal manera que la fuerza de fricción se vuelve proporcional al cuadrado de la velocidad:
(3)ma_y = m\frac{d^2y}{dt^2} = -mg - \epsilon\frac{C_d}{2}\rho A_tv_y^2
Donde:
C_d\;, es el coeficiente aerodinámico de resistencia al avance, que sólo depende de la forma del cuerpo.
A_t\;, es el área transversal a la dirección del movimiento.
\rho\;, es la densidad del fluido.
\epsilon = sgn(v_y)\;, es el signo de la velocidad.
La velocidad límite puede calcularse fácilmente poniendo igual a cero la aceleración en la ecuación (3):
v_\infty = \sqrt{\frac{2mg}{C_d\rho A_t}}
La solución analítica de la ecuación diferencial (3) depende del signo relativo de la fuerza de rozamiento y el peso por lo que la solución analítica es diferente para un cuerpo que sube o para uno que cae. La solución de velocidades para ambos casos es:
\begin{cases} v_y(t)= \sqrt{\cfrac{g}{\alpha}} \tan\left(-t\sqrt{{\alpha}{g}} +\arctan\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right) \right) & v_y(t) > 0\\ v_y(t)= \sqrt{\cfrac{g}{\alpha}} \tanh\left(-t\sqrt{{\alpha}{g}} -\mbox{arctanh}\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right) \right) & v_y(t) \le 0 \end{cases}
Donde: \alpha = C_d\rho A_t/2m\;.
Si se integran las ecuaciones anteriores para el caso de caída libre desde una altura h0 y velocidad inicial nula y para el caso de lanzamiento vertical desde una altura nula con una velocidad inicial v0 se obtienen los siguientes resultados para la altura del cuerpo:
Caída libre (v0 = 0 y y(0) = h0):
y(t)=h_0-\cfrac{1}{{\alpha}}\ln\left[\cosh\left(-t\sqrt{{\alpha}{g}}\right) \right]
El tiempo transcurrido en la caída desde la altura y = h0 hasta la altura y = 0 puede obtenerse al reordenar la ecuación anterior:
t(0)-t(h_0)=\cfrac{1}{\sqrt{{\alpha}{g}}}\mbox{arccosh}\left(e^{{\alpha}h_0}\right)
Lanzamiento vertical (v0 = v0 y y(0) = 0):
y(t)=\cfrac{1}{{\alpha}}\ln\left[\cfrac{\cos\left[-t\sqrt{{\alpha}{g}}+\arctan\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right)\right]}{\cos\left[\mbox{arctan}\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right)\right]} \right]
Si la altura h0 es aquella en que la velocidad vertical se hace cero, entonces el tiempo transcurrido desde el lanzamiento hasta el instante en que se alcanza la altura h0 puede calcularse como:
t(h_0)-t(0)=\cfrac{1}{\sqrt{{\alpha}g}}\mbox{arctan}\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right)=\cfrac{1}{\sqrt{{\alpha}g}}\mbox{arccos}\left(e^{-{\alpha}h_0}\right)
Se puede demostrar que el tiempo que tarda un cuerpo en caer desde una altura h0 hasta el suelo a través del aire es mayor que el que tarda el mismo cuerpo en alcanzar la alura máxima de h0 si es lanzado desde el suelo. Para ello basta con probar la desigualdad siguiente:
\mbox{arccosh}\left(e^{{\alpha}h_0}\right)>\mbox{arccos}\left(e^{-{\alpha}h_0}\right)
\forall \alpha, h_0 > 0
sabiendo que \mbox{arccosh}\left(e^{{\alpha}h_0}\right)\in\left[1,+\infty\right) y que \mbox{arccos}\left(e^{-{\alpha}h_0}\right)\in\left[0,\cfrac{\pi}{2}\right]
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